MORE BALLS PLEASE

Thanks for all your replies on the question of the Electronic Ball. There are more answers then I am able to publish on this blog. Below you will find an answer of Ron from New Zealand and Helmut from France. Ron uses LTSpice to get to the answer - Helmut the 'poor mans approach' Thanks guys!

wh

Hi Guys,

I have a solution to your resistor ball problem:

I flattened the ball, drew the schematic and loaded it into LTSpice circuit simulator, running on a laptop. I added a 1000 volt battery to the schematic and connected it to two diametrically opposite points. I ran the simulator in DC mode, and it produced a list of all the nodes with their voltages, and all the components (battery and resistors) with the currents through them. Knowing the applied voltage and the battery current, I calculated the resistance for question one.

Helmut from France wrote

Hi,

Here are some thoughts on the calculation of the equivalent resistance of two adjacent nodes, a subject that attracted less attention than the equivalent resistance of the two opposing nodes. Being more a practical kind of person I am not going to do a calculation that belongs in a theoretical treatise on electronics, instead I will try to find some poor man’s approach that will hopefully result in an acceptable approximation.

Some years ago a similar question was raised in Elektor about an infinite flat resistor grid and I was thinking that maybe it would be possible to reuse some of that. My starting point was (and still is) that the further a resistor is away from the two adjacent nodes, the lesser its contribution to the equivalent resistance will be. Intuitively, this value should be somewhere in between two limiting values, depending on the value 0 (short) or infinite (open) attributed to these far away resistors. So why not take the arithmetic average of the two? This approximation should get better when the number of jumps needed to get to the border nodes of the grid increases. These nodes will be given a value of open or shorted. The easiest case is the one with 0 jumps: short equals 0 ohm, open equals 1 Mohm, average equals 0.5 ohm. Averaging several approximate calculations of the equivalent resistance when the circuit gets more complicated gives this table (for the side of a pentagon):

Jumps	0	1	2
Short circuits	0.00	0.27 (3/11)	0.602
Open circuits	1.00	1.00	0.696
Average	0.50	0.64 (8/11)	0.649
Elektor measurement	0.65	0.65	0.65

With more jumps the calculation becomes complicated! But, with resistors of 2%, it seems that even with just one jump (still within reach of my mental calculation skills) we arrive at a good approximation.

Regards,

Helmut Müller

CORRECTION

Some of you noticed that the formule for PHI was not correct... that is correct!

The right formule must be ((1 + SQRT5)/2)

Thanks for the correction.

Kind regards,

WH

THE GOLDEN APPROXIMATION

Ricardo Oddone Geraldo Snel from Brasil, believes PHI is in the ball and also puts in the Golden Approximation - WH

According to the picture (of the resistorball - WH), Fibonacci numbers probably have something to do with the ball resistance, too.

What about soldered resistors building up a log-spiral? Will the resistance value converge at infinite length? Check log antennas...

Besides "Golden Ratio" and "Golden Equations" (e. g. exp (i*pi) + 1 = 0) we have at least one "Golden Approximation" in electronics:

2^10 ~ 10^3

It follows of course that 1 K ~ 1 k, but also (taking log base 10):

10 log 2 ~ 3 (dB).

EIN PHI POTI

ich bin Lukas und bin an der Entwicklung von einem neuen Equalizer beteiligt, der in dem High-End-Bereich in Studios zum Einsatz kommt.
Wir haben die Potentiometer mit Relais-und-Widerstandsreihen ausgetauscht und das Ganze hat mal hier für ziemlich aufsehen und Kleinfurore gesorgt, als ich die R-Reihen durchgerechnet hab, um eventuell das Konzept zu optimieren, und war heftig überrascht (kann mich noch an ein paar interessante Mails erinnern) als Projektleiter Stefan, der alles mit dem Lötkolben und dem Gehör macht, auf der Suche nach einer angenehm zu schaltenden Widerstandsreihe aus reiner Intuition heraus eine Reihe rausgearbeitet hat, die in den E24-Näherungswerten zum Schluss fast exakt den goldenen Schnitt reproduziert. Wenn man alle R-Werte zusammen- zieht, dann landet man bei einer durchschnittlichen Schrittbreite von fast exakt Phi, was mich doch sehr verwundert hat, da man im Audio- bereich höchstens mit nem log oder zumindest nem Quasilog unterwegs ist, aber Phi ist so "da draussen" - und das gar nicht erst mit Vorsatz, sondern aus reinem Gehör heraus...das war ne ziemliche...man kann fast schon wieder sagen Nicht-Überraschung.

Aber ja, echt schräg wie wenig Phi eigentlich in der Elektronik vorkommt...
sowas wie ein Phi-Poti wär vielleicht mal ne Sache ;)

YOU WANT ANOTHER CRAZY ANSWER?

I’ve been enjoying Elektor very much!

If you want another crazy answer. These problems (calculate the resistance of the ball) somehow always relate to PHI (the golden mean, (1+sqrt(5))/2). So simply taking your measurement I would say the answer is 5/(1+sqrt(5)) or 5/2*PHI (1.5450850). Now if this is the exact answer I will be pleasantly surprised.

-Scott Wurcer

THE ELECTRONIC BALL

First step to be taken is translating that complicated 3-D thing into something easier to handle and draw, ie we have to flatten the ball. Just have a look to the picture below, you can imagine each branch of our graph -the ball- is made of some ideally elastic resistor, then you stretch one of pentagons so that it can surround all the rest. Of course we loose neat angles and branch lengths you can see on the 3-D ball but this is the only way to flatten it. That neat arrangement of polygons can only exist in 3-D space. Nonetheless topology is the same, in other words connections between resistors in the branches is exactly the same. We still have 20 hexagons and 12 pentagons and connections, common branches and “neighbors” are just the same as in the real 3-D thing. Note that the 12th pentagon is “the biggest one” surrounding the hole graph.























This could be done even using one of the hexagons as graph center taking us to the same conclusions.

Next step is answering the question: Is resistance between any two diametrically opposite nodes the same? This cannot really taken for granted as is. However looking at the picture below we can see circular symmetry as 360/5=72° and this means that circuit and hence resistance between any couple of nodes A-A', B-B', C-C', D-D' and E-E' is the same.





















Of course which pentagon is used as center of the graph has no influence and then the same shall apply to any pentagon in the ball. This will include all the nodes in the ball and gives us opportunity to calculate resistance between any couple of nodes above having the same result.




To do that we shall connect a voltage generator between A and A' and calculate current flowing









This connection will unfortunately invalid the 5-folded symmetry seen above reducing to a simple vertical symmetry. However this 2-symmetry will allow us to reduce circuit to be considered.

In fact due this symmetry voltage on node 1 will be the same as that on node 1', hence voltage across branch 1-1' will be zero and no current will ever flow, so we can even remove this branch without modifying operation of the circuit. The same will naturally apply to 2-2', 3-3', 4-4', 5-5' and 6-6'.


















This is the new equivalent circuit






















We are close to dividing circuit into two halves, we just have to cope with the two branches 7-7' and 8-8'.

We first will replace resistor R with two parallel connected 2R resistors and than we will do the same as before, due symmetry current out of X and X' is the same, then current in the horizontal branch is zero, we then can remove it and finally cut our ball in two halves.













Then the remaining of our ball is
























So resistance seen from any two diametrically opposite nodes will be one half of resistance seen from voltage generator in the equivalent circuit below.





















Despite several tries to simplify the circuit above using common series, parallel and star/delta rules on electric nets I did not manage to achieve any further improvement apart from the obvious series connection of couples of resistors (not shown above to make clear belonging polygon).

So I had to go through the safe and hard way, ie solve the circuit using loop-currents method and Kirchhoff's laws. Let's have a look to diagram below where I replaced series resistors with their equivalent and depicted 12 loop currents and our “most wanted” voltage generator current with their (conventional) directions.























Each loop shall satisfy : sum of voltage generator(s) equals sum of voltage drop across resistors:

V=RI

for instance, looking at loop I1 we see we have no voltage generator ie V=0 and then given different directions of currents involved.

0=7RI1 – RI2 – RI3 – RI4 + 3RI13

This , repeated 13 times will give us a set 13 linear equations in 13 unknowns which can be conveniently described and solved using matrix algebra.



This is the R matrix describing the above circuit:

......................7.-1 . -1. -1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3
....................-1. .6 . -1 ..0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0
....................-1 -1 5 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0
....................-1 . 0 -1 6 0 0 -1 -1 0 0 0 0 2
.....................0 -1 ..0 0 5 -1 0 0 -1 0 0 0 0
.....................0 -1 -1 0 -1 6 -1 0 -1 -1 0 0 0
R =............. 0 0 -1 -1 0 -1 6 -1 0 -1 -1 0 0
.....................0 0 0 -1 0 0 -1 5 0 0 -1 0 2
.....................0 0 0 0 -1 -1 0 0 6 -1 0 -1 0
.....................0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 5 -1 -1 0
.....................0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 6 -1 2
.....................0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 7 1
.....................3 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 1 10

then we need the known terms column ie a vector describing voltage generators connected – only one in loop 13 in our case- and a second vector containing our 13 unknowns.
We shall suppose voltage applied is 1V just to make calculations easier, value is not important at all being the circuit linear. We actually need only I13 but unfortunately this cannot be calculated on its own, we need to solve the whole system instead.


..................0 ............I1
..................0.............I2
..................0............ I3
..................0 ............I4
..................0 ............I5
..................0 ............I6
V =........... 0 .... I = .I7
..................0 ............I8
..................0 ............I9
..................0 ............I10
..................0 ............I11
..................0 ............I12
..................1 .............I13

Once we have these powerful instruments problem becomes logically simple, since

RI=V then I=R-1V

then we “only” have to invert R matrix to get R-1 even if this is logically simple requires quite a huge amount of calculations to be done, hence I got MatLab to do this. I will omit inverted matrix here since we only need one of its elements, in fact given the all-zeroes-and-one-one known term vector we only need R-1(13,13) to calculate I13. So we have:

R-1(13,13)=0.323529412


and then since V=1V and R=1Mohm

I13=R-1(13,13) V13 = 0.323529412 . 1 = 0.323529412 A

and hence resistance of one half of the ball shall be

rh = 1/ 0.323529412=3.0909 Mohm

One interesting consideration is that since all numbers in the R matrix are integers and operations involved in calculating its inverse are sums, differences, products and divisions result must be a rational number ie ratio of two integers. It actually looks like

rh =3 +1/11 =34/11 Mohm

Further investigations with MatLab showed that this is true down to its machine precision so we will assume it for true.
So finally taking into account the second half of the ball parallel connected we get


rball =17/11 Mohm = 1.5454 Mohm






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UFF!

"[i-TRIXX] Das ungelöste Rätsel des elektronischen Balles"
Nehmen wir einmal an, wir legen entlang jeder Naht eines Fußballes einen Widerstand von einem Megaohm und löten alle Verbindungspunkte zusammen. Wie hoch ist nun der Widerstand zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten?"

Obwohl ich leider erst sehr spät auf dieses Rätsel stieß, reizte es mich natürlich, da mitzurätseln. Ein besonderer Anreiz ist, dass im Elektor-Labor anscheinend auch noch gerätselt wird und die Anwort nicht schon vorher existiert.

Für einen Hobby-Elektroniker wie mich ist es eher unwahrscheinlich, dass von einem einzigen Widerstandswert gleich 90 Stück paratliegen. Somit war - auch im Hinblick auf eine folgende Berechnung - die Suche nach einer Vereinfachung des Problems geboten.

Symmetriebetrachtungen
Der Widerstand soll zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten - also Ecken - gemessen werden. An jeder Ecke treffen sich zwei Sechsecke und ein Fünfeck. Somit gibt es für die - willkürlich ausgewählte - Ecke eine Linie, um die das Gebiet spiegelsymmetrisch ist.











Symmetrie-Linie


Diese Linie bildet insgesamt einen Kreis um den Ball herum, der diesen in zwei gleich Hälften teilt. Somit genügt es, den Widerstand einer Hälfte zu ermitteln und diesen dann - wegen der Parallelschaltung mit der anderen Hälfte - im Wert zu halbieren.
Weitere Vereinfachungen Zeichnet man besagten Kreis in eine Skizze ein, so ergibt sich folgendes Bild.
















Symmetrie-Kreis teilt den Ball in zwei Hälften


Der Teil außerhalb des Kreises gehört zur Rückseite des Balls; somit kann diese Skizze natürlich nicht perspektivisch richtig sein, was für die folgende Betrachtung aber auch nich sein muss. Auch die 1MOhm-Widerstände sind hier nicht eingezeichnet; jede Kante soll einen Widerstand darstellen.

Der Kreis spaltet zwei Widerstände, die an den Anschluss-Ecken liegen, der Länge nach. Einige weitere Widerstände werden quer durchgeschnitten. Da beide Ball-Hälften exakt gleich sind, besteht keinerlei Grund dafür, dass von einer Hälte zur anderen ein Strom fließen könnte. Die quer durchgeschnittenen Widerstände können also einfach weggelassen werden, und die beiden längs gespaltenen Widerstände werden durch doppelt so hohe ersetzt, also 2MOhm.

An dieser Stelle habe ich dann den Lötkolben angeheizt und einen Ball gebaut, der nur auf einer Seite aus Widerständen besteht und ansonsten - quasi als Dummy - nur aus einfachen Drähten. An den Trennstellen wurden die Drähte unterbrochen und mit Schrumpfschlauch wieder verbunden, ohne dass eine elektrische Verbindung entsteht.

Mit Spannung den Widerstand gemessen - das Messgerät zittert mit und zeigt Werte zwischen 3.03 und 3.15 MOhm, das ist im Mittel 3.08 MOhm. Wird berücksichtigt, dass der Widerstand für den kompletten Ball zu ermitteln ist, so ergibt sich ein Wert von 1.54 MOhm. Das bestätigt mit dem im Rätsel schon angegebenen Elektor-Messwert 1.545 MOhm meine Überlegungen bis jetzt ja recht gut! :-)

Jetzt kann man im nächsten Schritt gleich diese Parallelschaltung berücksichtigen: Die zwei gespaltenen Widerstände bekommen wieder 1 MOhm und alle anderen 500 kOhm.


















Einige Widerstände entfallen, das bleibt übrig


Jetzt gibt es einige Ecken, an denen sich nicht mehr 3, sondern nur noch 2 Widerstände treffen. Diese können daher jeweils zu einem Widerstand zusammengefasst werden, also 1 MOhm und an zwei Stellen 1.5 MOhm. An allen anderen Stellen bleibt es bei 500 kOhm.




















Strom für eine Ecke und Gesamtstrom


Nochmals Symmetrie
Das verbleibende Gebilde aus 0.5 MOhm-, 1 MOhm- und 1.5 MOhm-Widerständen ist drehsymmetrisch. Es ist also nicht notwendig, Berechnungen für alle Ecken anzustellen, sondern es reicht eine Hälfte, z.B. nach Unterteilung an der eingezeichneten Grenzlinie.

Der Gesamtstrom durch das Maschenwerk ist die Summe der Ströme, die diese Grenz-Linie überschreiten. Natürlich könnte man zur Berechnung des Gesamtstroms auch andere Grenzen ziehen, z.B. direkt unter der Ecke U und die Ströme durch die beiden von dort ausgehenden Widerstände zusammenzählen. Aber der skizzierte Weg passt besser zu der Symmetriebetrachtung. ;-)

Spannung an den Ecken des Fußballs
Jetzt hat sich die Anzahl der Ecken, über die Berechnungen auszuführen sind, auf 11 reduziert. Für die Berechnung benutze ich die Gesetzmäßigkeit, dass nirgends Strom aus dem Nichts entstehen kann, also der von einer Ecke ausgehende Strom immer Null ist. Wird an das Gesamte Gebilde oben eine Spannung +U angelegt und - der Symmetrie wegen - unten eine Spannung -U, dann lassen sich die Spannungen an den übrigen Ecken mit 'A' bis 'K' bezeichnen und bereichnen.

Es werden 11 Gleichungen mit 11 Unbekannten aufgestellt. Ein Beispiel ist in obige Skizze eingezeichnet: Die von Ecke D ausgehenden Ströme sind (D-U)/1.5MOhm + (D-K)/1MOhm + (D-C)/0.5MOhm (alle unbezeichneten Linien sind 0.5MOhm-Widerstände). Diese Summe muss 0 sein, woraus sich die Gleichung 11D-2U-3K-6C=0 ergibt. Setzt man immer wenn U vorkommt, diesen Teil auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens, so lautet dieses Beispiel 11D-3K-6C=2U. Entsprechende Gleichungen werden für alle 11 betrachteten Ecken aufgestellt und in eine Matrix eingesetzt.







Matrix der 11 Gleichungen mit 11 Unbekannten


Die Gleichung für die Ecke D bzw. den Spannungswert D ist hier in der 4. Zeile zu sehen: Jeweils in den Spalten C, D, K und U sind die Koeffizienzen -6, 11, -3 und 2 eingetragen.
Lösen der 11 Gleichungen per Matrix-Diagonalisierung
Gibt man diese Tabelle in ein Tabellenkalkulationsprogramm ein und beherrscht dieses Matrix-Berechnugen, dann kann man durch Invertieren der Matrix A1 bis K11 und Multiplikation mit dem Vektor U den Ergebnisvektor errechnen. Es ergibt sich:

A = U * 0,5735294117647060
B = U * 0,3382352941176470
C = U * 0,2647058823529410
D = U * 0,3382352941176470
E = U * 0,1911764705882350
F = U * 0,1176470588235290
G = U * 0,1764705882352940
H = U * 0,0735294117647059
I = U * 0,1176470588235290
J = U * 0,0147058823529412
K = U * 0,0441176470588236

und mit der Formel
R = 1MOhm * U / (E + 2F + 2H + 2J + K)
ist schließlich der gesuchte Widerstand

R = 1,54545454545455 MOhm
Lösen der 11 Gleichungen - ganz genau!
Dieses Resultat sieht ja schon sehr genau aus, und man kann erahnen, dass es sich um einen periodischen Dezimalbruch ..545454.. handelt.

Nachdem aber in dem Rätsel die Frage nach der genauesten Lösung gestellt ist, möchte ich im folgenden eine Lösung finden, die möglichst nicht an Genauigkeit noch überboten werden kann. Also machte ich mich daran, die Matrix-Rechnung von Hand durchzuführen, und zwar so, dass nur mit ganzen Zahlen gerechnet wird, also Brüche zunächst noch nicht ausdividiert werden.

Das wurde doch recht mühselig, weswegen hier nur ein paar Zwischenergebnisse gezeigt werden sollen.








Umformen, damit rechts oben nur Nullen









Jetzt rechts oben nur Nullen

Es wäre einfacher, wenn in der Diagonalen nur Einsen stünden, doch ohne Brüche geht das nicht.







Umformen, damit links unten nur Nullen

Jetzt kommen schon gemein große Zahlen vor.







Geschafft!

Die Zahl 68 spielt hier offensichtlich eine besondere Rolle. Teilweise könnte man noch kürzen, aber so ist es schöner. Jetzt können die Lösungen direkt abgelesen werden: 68 A = 39 U, 68 B = 23 U u.s.w.

Jetzt diese Ergebnisse in die Formel
R = 1MOhm * U / (E + 2F + 2H + 2J + K)
eingesetzt, ergibt den Widerstandswert

R = 1MOhm * 68 / (13 + 2*8 + 2*5 + 2*1 + 3) = 1MOhm * 68 / 44

und, so weit wie möglich gekürzt,

R = 1MOhm * 17 / 11

Uff!


Bernhard Foltz







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